黄昏より暗きもの、血の流れより赤きもの

黄昏より暗きもの、血の流れより赤きもの

自分の好きな事を好きなように書いて行きます。

【ネタバレ】iOSアプリ「なん度」の最終問題:あのオードリーも苦戦した難問に挑む!

今日は「オードリーのオールナイトニッポン」で紹介されたiOSアプリ「なん度」の最終の問題の問題と解説をしたい。これ、ラジオでもオードリーさん相当苦戦したみたいで「スタッフの解答にxが出て来て理解出来なかった」などが話題となった。そんな訳で問題見てみたい。

問題

正方形OABCの内部に\angle{POA}=\angle{PAO}=15^\circとなるような点Pを取る。このとき\angle{CPB}を求めよ。

図1

f:id:program_study:20161120200547p:plain

解答の勘所

以下、泥臭い解法について話す。まず\angle{A}=90^\circは正方形だから出て来るだろうし、問題に\angle{POA}=15^\circ有名角が多数登場している。とすれば三角定規の辺の比率\cos{60^\circ}\sin{45^\circ}などの出番で、辺の情報から有名角をあぶりだしていく

問題の図から\angle{CPB}=60^\circと直感的に察したため、CP=PB=BCとなる事を示す流れで解答。(「対称性より」を出来る限り使わないで書いているので、長々で分かりにくい箇所があるかもしれないがご了承願う)

解答

△BPCが正三角形であり、\angle{CPB}=60^\circと予想しこれを示す。

まずOA=2としても一般性を失わない。仮定から\angle{COP}=\angle{BAP}=75^\circ,OC=AB,OP=AP。二辺夾角相当より△OCP≡△ABP∴CP=BP(i)より△BPCは二等辺三角形である。

△OPAはOP=PAより、OAの中点をMとしてMPとOAは垂直かつOM=MA=1。ここで図2のようにPQとMAが平行になるように補助線を引く(辺の情報を移動させる)。


f:id:program_study:20161120204158p:plain

△OPMにおいてMP=\tan{15^\circ} = 2 - \sqrt{3}となるのでPQ=MA=1、BQ=BA-QA=BA-MP=\sqrt{3}。これより△BPQは60^\circの三角定規の形となるので、BP=2。以上よりBP=BC=2(ii)。(i)(ii)よりCP=PB=BC=2より△BPCが正三角形であることが示され、\angle{CPB}=60^\circ(答)

注意

\tan{15^\circ}三角関数の加法定理を使う(詳細は高校の教科書で)。高校範囲のテクニックをみだりに使って申し訳ない。

\tan{15^\circ} = \frac{\sin{15^\circ}}{\cos{15^\circ}}

\cos{(45^\circ - 30^\circ)} = \sin{45^\circ}\cos{30^\circ}-\cos{45^\circ}\sin{30^\circ}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}
\sin{(45^\circ - 30^\circ)} = \cos{45^\circ}\cos{30^\circ}+\cos{45^\circ}\sin{30^\circ}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}

\tan{15^\circ} = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{6}-\sqrt{2})(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{(\sqrt{6}+\sqrt{2})(\sqrt{6}-\sqrt{2})} =\frac{(\sqrt{6}-\sqrt{2})^2}{4}=2-\sqrt{3}

この他の解答(ひし形を作る)

別解として「【パズル攻略】 『数学アプリ なん度?』最終問題の解法(分かりやすい解説):kenpi20の灰色マインドマップ日記」さんに正三角形とひし形を作って求める方法が紹介されていた。これを自己流に略解を書くとこんな感じ。詳細は上のブログを見て欲しい。

略解

辺OAの外側にOQ=QA=AO(△OAQが正三角形)となるような点Qを取る。このとき△OAQは正三角形となるので、△OPAは二等辺三角形よりQからOAに対し垂線を下ろしその足をMとすると、Q、M、Pは一直線上に並ぶ。

この時角PAB=75° 角PAQ=60°+15°=75°より角PAQ=角PAB=75°(図の青の角) PAは共通、BA=QA。二辺夾角相当より△PAB≡△PAQ (性質1)

(性質1)を利用し、△QPAの内角を整理していく。まず角PAB=角PAQ=75°次に正三角形△AQOの半分より角AQP=30°最後に残りの内角を計算することで、角QPA=75°

(性質1)から角QPA=角BAP=75°(図の赤の角)。同様に対称性から△PCO≡△PQOとなる事が分かるので、図の青の角と赤の角がそれぞれ2つ、75°が計4つあることが分かる。以上より角CPB=360°-(75°×4) = 60°(答)(△PABが二等辺三角形よりPB=BCに持ち込んで、正三角形であるという方向性でもOK!)


f:id:program_study:20161123112830j:plain

「なん度」について

高校卒業した人が「なん度」をやると、もはや暗算のアプリ。図の書き込みを使わず頭の中で計算したりすると面白いかも。筆者も頭の中で「360°-120°-….」なんてやったものだ。最初は三角形の内角の和、平行線、n角形の内角・外角、二等辺三角形など同じみのテーマが多かった。円の内接四角形、円外の点から引いた二本の接線(対称性)、接弦定理の当たりは現行の中学生は習わないと思うので難しいかも。

数学クイズ なん度?

数学クイズ なん度?

  • Gakko Net Inc.
  • 教育
  • 無料