黄昏より暗きもの、血の流れより赤きもの

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インドの数学恐るべし 2013 インド統計大学より

今日は趣味でやってみた数学の問題を紹介します。インドの数学と言えば算法(ヴェーダ数学)がよく注目されますが、入試問題を見るに受験勉強で大変そうですね。

インド工科大学、インド統計大学とみて来て、日本の東京大学などに比べ計算量は少ないものの誘導や定義が少ないのが特徴です。本問題は日本のセンター試験から誘導を抜いた形なため、自分でロジックを一から組み立てて考えることが要求されますし、採点する側にも実力が必要な出題方式と言えます。

本記事の原典である「並べ替えてトレミーの定理(2013 インド統計大学)- 数学塾variée@吉祥寺」を見るに、別解が2つ発表されているので、別解をどう採点するかも難しいですね。

いやこれ見る限りインドの算数・数学教育って答えが合えばいいって教育はしてないと思う。インドさん。カレーだけでなく数学も辛いよ。IT業界の端くれが見ても、いいプログラマーが育ちそうな雰囲気。道理でマイクロソフトの社長にインド系の人間が就くわけだと思ったりします。下はまあインド工科大学の学生のインタビュー記事です。

世界1の就職勝ち組!インド工科大学(IIT)の大学生に直撃インタビュー。世界で1番優秀な化け物たちは、どうやって人生を歩んでく? - 潤pの、就活やめて、世界一周することにしちゃ 世界1の就職勝ち組!インド工科大学(IIT)の大学生に直撃インタビュー。世界で1番優秀な化け物たちは、どうやって人生を歩んでく? - 潤pの、就活やめて、世界一周することにしちゃ

問題

ADは半径rの円の直径である.点B, Cは同じ弧AD上にあり,AB = BC = \frac{r}{2},A \neq Cをみたしている.\frac{CD}{r}を求めよ.(数学塾variée@吉祥寺より)

 \angle A = {\theta}とおく.A \neq Cより図1のようになる.


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STEP1:余弦定理に持ち込むための準備

まず\angleABDは直径に対する円周角より\angle ABD = \frac{\pi}{2}
上記より△ABD(図1の黄色の三角形)は直角三角形.
ここからピタゴラスの定理よりBD^2の値を求めると,
BD^2 = AD^2 - AB^2 = 4r^2 - \frac{r^2}{4} = \frac{15r^2}{4} (i)

次に\cos{D}を求める.
四角形ABCDは円に内接するので、\angle {D} = (\pi- \theta)
{\cos{A} =\cos{\theta} = \frac{\frac{r}{2}}{2r} = \frac{1}{4}} より
{\cos{D} = \cos{(\pi- \theta)} = - \frac{1}{4}} (ii)

STEP2:△BCDに対して余弦定理→方程式


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今度は△BCD(図2の赤色の三角形)に対して余弦定理から,\frac{CD}{r}に対する方程式を立式する.
BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2・BC・CD・\cos{D}
\Leftrightarrow \frac{15r^2}{4} = \frac{r^2}{4} + CD^2 - 2・\frac{r}{2}・CD・ - \frac{1}{4} (∵(i)(ii))
\Leftrightarrow {CD}^2 + \frac{r}{4}CD - \frac{14r^2}{4} = 0
\Leftrightarrow 4{CD}^2 + rCD -14r^2 = 0

ここで円の半径よりr > 0なので,両辺をr^2で割ると
\rightarrow 4 (\frac{CD}{r})^2 + \frac{CD}{r} - 14 = 0
\Leftrightarrow (\frac{CD}{r}+2)(4 \frac{CD}{r} - 7)= 0
さらにCD > 0から\frac{CD}{r} > 0であることが必要.
上記を考慮すると,\frac{CD}{r} = \frac{7}{4}(答)

後書き

Windows 10付属のUbuntuを使ってTeX作成を試みてみましたが、日本語入力ができなかったのではてなブログの機能を使いました。日本語入力ができるようになり次第、ここにそれを張り付けられるようにしたいですね。「Ubuntu 16.04 LTSにTeXをインストールする方法 -Qiita」さん。情報提供ありがとうございます。