黄昏より暗きもの、血の流れより赤きもの

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2ちゃんねるに掲載の問題をやってみた:方程式の解と係数の関係と、ディオファントス方程式

2chに中々良く出来た問題があった。無断転載になるので、何か問題があったら言って欲しい。

問題

s,tを実数とする.xについての三次方程式x^3 - sx^2 + tx -s = 0の解はすべて整数であるという.s,tを決定し,その時の整数解を求めよ.
(VIPPERのみんなで協力して数学の問題解こうぜのスレッド番号63(vzOg8FwB0氏) 作)

解答

3つの整数解をa,b,cとする。このとき三次方程式の解と係数の関係から、
a+b+c = sab+bc+ca = tabc = sとなる。
上の式より、a,b,cが整数よりab+bc+caも整数、abcも整数となることから、s,tは整数であることが必要。
第一式と第三式より、abc = a+b+c (I)となる事が分かる。
以下a \leq b \leq cとして、このディオファントス方程式(不定方程式)(I)の整数解(a,b,c)について考察する。
[i]:a,b,cの少なくとも1つが0であるとき、(a,b,c)=(-k,0,k) (kは0以上の整数)が成立する。
[ii]:a,b,cのいずれも0でないとき、
(I)をabcで割って \frac{1}{bc} + \frac{1}{ca} + \frac{1}{ab} = 1。まずa \leq b \leq cより、ab \leq ca \leq bc
さてab=bc=caとしたとき、\frac{1}{bc} + \frac{1}{ca} + \frac{1}{ab} = \frac{3}{bc} \leq 3
[α]:bc=3のとき(b,c)=(-3,-1),(1,3) (I)より-3a=a-4 または 3a=a+4 より、(a,b,c)=(1,2,3)がみつかる。
[β]:bc=2のとき(b,c)=(-2,-1),(1,2) (I)より2a=a-3 または 3a=a+3より、(a,b,c)=(-3,-2,-1)がみつかる。
[γ]:bc=1のとき(b,c)=(-1,-1),(1,1) (I)よりa = a - 2 または a =a + 2 となりこのような解は存在しない。
[i][ii]より、
(s,t)=(0,-k^2)のとき、(a,b,c)=(-k,0,k) (kは0以上の整数)
(s,t)=(-6,11)のとき、(a,b,c) = (-3,-2,-1)
(s,t)=(6,11)のとき、(a,b,c) = (1,2,3)

2chの反応

2ch見てると、s,tに色んな値入れて解いてる感じだ。加え「これ以外の答え有るかどうか調べて下さい」って出題者に突っ込まれている。出題者さんも「解と係数を上手く使うとディオファントス方程式になる」事を知ってる感じで答えてる感じだね。


69 :以下、無断転載禁止でVIPがお送りします:2016/08/14(日) 23:13:21.774
>>63
(s, t) = (0, 0) この時、解は x = 0
(s, t) = (6, 11) この時、解は x= 1, 2, 3
(s, t) = (-6, 11) この時、解は x= -1, -2, -3


70 :以下、無断転載禁止でVIPがお送りします:2016/08/14(日) 23:18:29.706
>>69
ディオファントス方程式
  a + b + c = abc
の解はそれだけかな?


71 :以下、無断転載禁止でVIPがお送りします:2016/08/14(日) 23:52:01.964
>>63
(s, t) = (0, -k^2) (kは非負整数)
  解は x = ±k
(s, t) = (6, 11)
  解は x = 1, 2, 3
(s, t) = (-6, 11)
  解は x = -1, -2, -3


72 :以下、無断転載禁止でVIPがお送りします:2016/08/15(月) 00:05:04.499
>>71
正解

参考にしたサイト

言われてみればごもっともな問題。例えばa,b,cを解に持つ3次方程式って解と係数の関係を経由し、a+b+c、ab+bc+ca、abcと対称式が出てくるし、a,b,cと係数の数値を調整すれば確かにディオファントス方程式の問題として出題ができる。

sは整数であるとする。二次方程式 2x^2 - sx + 2s= 0が整数解を持つような整数sを全て求めよ」のように出題ができると言うわけか。最後に問題のディオファントス方程式を解くまでに参考にしたネット記事を紹介したい。

類題