黄昏より暗きもの、血の流れより赤きもの

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自分の好きな事を好きなように書いて行きます。

数学の入試問題をプログラムで解いてみる(3):場合分けの煩雑なディオファントス方程式(2013 旭川医科大学 大問1より)

本日の問題

ディオファントス方程式 xy+yz+zx=pxyzを満足する自然数(p,x,y,z)を全て求めよ。但し 1 \leq x \leq y \leq zとする。(2013 旭川医科大学 誘導削除及び問題文改訂)

解答

与えられた式をxyzで割ると、\frac{1}{z} + \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = pとなる。

さて\frac{1}{z} + \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \leq 3 (等号成立はx=y=z=1のとき)より、p \leq 3が必要。(p >4だとバグる)

[i]:p=3を満たすのは、(p,x,y,z) = (3,1,1,1)の場合以外に他ならない。
[ii]:p=2を満たす条件を考える。x=y=zの場合を考え\frac{3}{x} \geq 2(3つ足して2なのでx一個のみだと2を超える) ∴ x \leq \frac{3}{2} より、x=1が必要

1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 2 <=> (y-1)(z-1)=1 ∴(p,x,y,z)=(2,1,2,2)のみに限られる。

[iii]:p=1のとき、x=y=zの場合を考え\frac{3}{x} \geq 1 x \leq 3。x=1のときは等式が成立しなくなり、x=2,3のときのみに限られる。

[iii-I]x=2のとき、
\frac{1}{y} + \frac{1}{z} =\frac{1}{2} <=> (y-2)(z-2)=4 ∴(p,x,y,z)=(1,2,3,6),(1,2,4,4)

[iii-II]x=3のとき、
\frac{1}{y} + \frac{1}{z} =\frac{2}{3} <=> (2y-3)(2z-3)=92y-3=1かつ2z-3=9のとき、y=2となってしまい条件が合わない。依って条件を満たすのは
2y-3=3かつ2z-3=3の場合に限られる。∴(p,x,y,z)=(1,3,3,3)

プログラムで答えを確認

答え合わせの為にC言語でプログラムを書いてみた。人力で計算する場合は分数に直さなくてはならない。しかしながらプログラムの場合、そのままの式を総当たりさせる事がポイント。そうする事で整数の範囲でディオファントス方程式が成立するかを調べる事ができる。

プログラム

結果
(p,x,y,z)=(3,1,1,1)
(p,x,y,z)=(2,1,2,2)
(p,x,y,z)=(1,2,3,6)
(p,x,y,z)=(1,2,4,4)
(p,x,y,z)=(1,3,3,3)
条件を満たす(p,x,y,z)の組:5組

2chの反応

本問はxyzで割れば参考書に出て来る式の形になって、不等式で候補を絞る事で答えが出せる。どうも過去に類似の問題をやっているか?あるいはxyzで割れたか?が勝負を分けた。


329 :大学への名無しさん:2013/02/27(水) 10:58:36.28
>>326
ダメだ割ってみたけどなおかつ分からない
1/x+1/y+1/z=pと出て問1は解けるが問2は?まさかしらみつぶし?
一浪目の課題は整数問題の克服のようだ


330 :大学への名無しさん:2013/02/27(水) 11:01:53.09
>>329
問二は典型問題ですよ
参考書に確実に載ってる

1/x+1/y+1/z=3,2,1
をそれぞれ不等式で評価してやっていくだけです
たしか4つくらい答えが出てきたかな?


331 :大学への名無しさん:2013/02/27(水) 11:49:51.61
(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2=2(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)

(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2≧0
⇔x^2+y^2+z^2≧xy+yz+zx=pxyz

みたいな感じでといたわw
xyzでわるとかスマートすぎw
落ちたな( ̄ー ̄)
(2ch:旭川医科大学医学部医学科8スレッドより)

原典

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