黄昏より暗きもの、血の流れより赤きもの

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5.【高校数学IA】和集合と積集合を復習する(高校生2年生以上推奨)

プログラミングの為の高校数学を復習するコーナー。今回は和集合と積集合の知識をまとめていきます。

基本的な知識

基本事項


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和集合

2つの集合 A, Bがあり、A,Bの全ての要素xに対しx \in A またはx \in Bをみたす集合を指します。これをA \cup Bと表し、上図のような場合はA \cup B = \{1,2,3,4,5\}と表します。

積集合

2つの集合 A, Bがあり、A,Bの全ての要素xに対しx \in Aかつx \in Bをみたす集合を指します。これをA \cap Bと表し、上図のような場合はA \cap B = \{2,3\}と表します。

練習問題1(ド•モルガンの法則)

集合Xの部分集合A,Bに対し\bar{A \cup B} = \bar{A} \cap \bar{B}(ド•モルガンの法則)が成立する事を証明せよ。

方針

式の左辺と右辺が集合として等しい事を示すとは、全てのx \in Xに対し、x \in {\bar{A \cup B}}  \Leftrightarrow x \in {\bar{A} \cap \bar{B}}(同値) を示す事を指します。

このように集合の要素がどの集合に属するかに注目し、式の左辺と右辺が同値である事を示します。これはユークリッドの互除法を証明する場合も同様です。

答え

前回の東京理科大学の出題みたいに、大学入試でも集合の包含関係を考える問題がままにあります。入試の出題の有無は別に基本として確認しておいた方がよいのと、練習の忘れがちな必要十分条件の復習もここでやってしまいましょう。

十分条件の証明

全てのx \in Xに対し、x \in {\bar{A \cup B}}  \rightarrow x \in {\bar{A} \cap \bar{B}}を示す。

x \in {\bar{A \cup B}}  \rightarrow x \notin {A \cup B} x \notin Aかつ x \notin B これより、x \in {\bar{A} \cap \bar{B}}

必要条件

全てのx \in Xに対し、x \in {\bar{A \cup B}}  \leftarrow x \in {\bar{A} \cap \bar{B}}を示す。

x \in {\bar{A} \cup \bar{B}}
\rightarrow x \in \bar{A}かつ x \in  \bar{B}
\rightarrow x \notin Aかつ x \notin B
\rightarrow x \in \bar{A} \cap \bar{B}

練習問題2(2014年 センター試験より)


集合UをU=\{n|は 5< \sqrt{n} < 6 を満たす自然数\}で定め,また,Uの部分集合P,Q,R,Sを次のように定める。

P=\{n|nはn \in Uかつnは4の倍数\} Q=\{n|nはn \in Uかつnは5の倍数\}
R=\{n|nはn \in Uかつnは6の倍数\} S=\{n|nはn \in Uかつnは7の倍数\}

全体集合をUとする。集合Pの補集合を\bar{P}で表し、同様にQ,R,Sの補集合をそれぞれ\bar{Q}\bar{R}\bar{S}で表す。
このとき以下の(i)〜(v)のうち空集合であるものを全てあげよ。
(i):P \cap R (ii):P \cap S (iii):Q \cap R (iv):P \cap \bar{R} (v):R \cap \bar{Q}

答え

違うサイトでは記述式に直されてますが、さすがに28通り調べる気がおきません。最も問題文の内容を数字に置き換え、選択枝の5通りに対し、素早く条件に合うかどうかを調べる事に力を注ぐと良いと思います。(TeXは面倒なので省きます)

5<√n<6 \rightarrow 25 < n < 36より、U=\{25,26,27,28,29,30,31,32,33,34,35\}となる。さらに

P=\{28,32\},Q=\{30,35\},R=\{30\},S=\{28,35\}

\bar{P}=\{29,30,31,33,34,35\}
\bar{Q}=\{26,27,28,29,31,32,33,34\}
\bar{R}=\{26,27,28,29,31,32,33,34,35\}
\bar{S}=\{26,27,29,30,32,33,34\}

以上よりP \cap R = \phi,P \cap S = \{28\},Q \cap R = \{35\},P \cap \bar{R} = \{28\},R \cap \bar{Q} = \phiから、(i)と(v)(答)