黄昏より暗きもの、血の流れより赤きもの

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【高校数学IA】命題と命題の逆、裏、対遇について復習する(高校3年生以上対象)

今日からプログラミングで必要となりそうな、数学の知識の復習をしようと思います。主に高校を卒業した方が数学を復習できるような内容をめざしており、本稿は高校3年生以上を対象としています。
さて本説は直接プログラミングには関係ありませんが、数学の本を読む上での知識として必要だと思った事をまとめました。

TeXについてはLaTeXコマンド集 論理式を参考にしました。

命題について

数学的に正しいかどうかを明確に判断できる主張のことを命題と言います。ここでこの命題が正しい場合は、命題が正しくない場合はと言います。

例えば「7は素数である」などは真な命題の例です。又「7は素数でない」と「Aでない」と言う形の命題の事を命題Aの否定と言い、\lnot Aと言います。

仮定と結論

ある命題Pが「AならばB」と述べられているとき、条件Aを命題Pの仮定、条件Bを命題Pの結論と言う。このときPをA \Rightarrow Bと表します。

命題の逆、裏、対遇


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命題Pに対し、「BならばA」(B \Rightarrow A)のように、仮定と結論を入れ替えた命題の事を言います。

ある命題Pが「AでないならばBでない」(\lnot A \Rightarrow \lnot B)という命題の事

対遇

裏の逆と言うべき命題。つまり「Bでないならば、Aでない」(\lnot B \Rightarrow \lnot A)という命題の事を言います。このときある命題とその待遇の真偽は一致する
ので対遇を利用した証明も度々用いられます。

本日の練習問題

本日の練習問題は中学校以来おなじみの平行四辺形の証明です。本例題から命題と命題の裏を確認して下さい。

問題


四角形ABCDにおける以下の命題Hを考える
H:四角形 ABCDにおいて AB=CDかつAB//CD ならば AB//CDかつAC//BD
この時以下の問いに答えよ。
(1):命題Hが真である事を証明せよ。
(2):命題Hの逆の真偽を調べよ。

証明(ベクトルに依る証明)

頭の中で作図して答えているので間違っている箇所があったらごめんなさい。高校3年生以上対象なため、ベクトルに依る証明と初等幾何に依る証明を書きます。万一中学生の方がこれを見ていたら、「高校3年生まで勉強すればベクトルで証明できるようになる」と言う事を覚えて帰って下さい(汗)。

ベクトルで証明をする事のメリットは、辺の長さや二辺の比などの情報を数量で表すことができるので、図形問題を計算で解く事が出来る点です。反面式を整理して内分点などの情報を得る事が必要となるため、各種式変形のやり方を高校2年生の前半から勉強することになります。
そんな訳で問題の解説です。


(1)ベクトルABを'AB'と表す。
Aを座標軸上の原点とし、A(0,0),B(b,0),C(c_x,c_y),D(c_x+b,c_y)としても一般性を失わない。
このとき'AC' = (c_x,c_y) , 'BD' = (c_x+b,c_y) - (b,0) = (c_x,c_y)より AC//BD
以上よりAB//CDかつAC//BDとなるので命題Hは真となる。


(2)命題Hの逆H'は
H':四角形 ABCDにおいて AB//CDかつAC//BD ならば AB=CDかつAB//CD となる
AB//CDより'AB'=k'CD'、AC//BDより'AC'=l'BD' -(1)
'AB' = k'AD' - k'AC' =- k'AC' + k'AD'
'AC' = l'AD' - l'AB' => 'AB' = -(1/l)'AC' +'AD' (∵l>0)
このとき一次独立の性質より'AC','AD'の係数は一致するので、 -k = -(1/l) かつ k=1 ∴k=l=1
これより'AB' = 'CD' が成立するので、AB=CDかつAB//CD
以上より命題H'は真となり、命題Hの逆は真となる(答)

証明(初等幾何に依る証明)

(1)四角形ABCDの対角線をOとし、△ABO≡△DCOを示す。
△ABOと△DCOにおいて
AB//DCの錯角において 角BAO = 角CDO,角ABO=角DCO
又仮定よりAB=DC
以上より二角挟辺相等から△ABO≡△DCO
∴AO=DO,BO=COより対角線が互いの中点で交わるので四角形ABCDは平行四辺形となる。
ここで平行四辺形の定義よりAC//BDより、命題Hが真である事が示された。

(2)命題Hの逆H'は
H':四角形 ABCDにおいて AB//CDかつAC//BD ならば AB=CDかつAB//CD となる
△ABCと△DCBにおいて
共通な辺 BC = CB
AB//CDより 角ABC = 角DCB 角ACB = 角DBC
よって二角挟辺相等から△ABCと△DCB ∴AB=DC(CD)よりAB=CDかつAB//CDが成立する。
以上より命題Hの逆は真である。