黄昏より暗きもの、血の流れより赤きもの

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黄昏より暗きもの、血の流れより赤きもの

自分の好きな事を好きなように書いて行きます。

整数の桁数に関する問題:ぞろ目な整数は11の倍数である事を示す

今日はふとしたときに思いついた問題と答えを紹介します。

問題

nを自然数とする。さらに数列a_n = 10^{n-1}を定義し、この和をS_nと定義する。ここでnが偶数のとき、S_nは11の倍数となるか否か?

解説

まず実際の解答に入る前に、少ないnで実験してみよう。こういった問題は少ないnで問題の基本的な性質を掴んで行く事が大切だ。例えばn=4のとき、[11][11]と2けたずつに区切ってみてみるとよい。これを数式で表現すると以下のようになる。


S_4 = 1111 = 1 * 10^3 + 1 * 10^2 + 1 * 10^1 + 1 * 10^0
= (10+1) * 10^2 + 11 * 10^0
= 11 * 10^2 + 11 * 10^0
= 11 * (10^2 + 1)

よりn=4のときは確かにS_nは11の倍数となった。[解]ではn=2kの場合、1111….1111 = [11][11]….[11][11]と2ケタおきに区切る様子を解答に書いていく。

解答


kを自然数とし、n=2kとおく。このとき、

S_{2k} = 1 + 10 + 100 + …… + 10^{2k-1}

= (1 + 10) + (100+1000) …… +(10^{2k-2}+ 10^{2k-1})
=11 * 1 + 11 * 100 + ….. + 11 * 100^{k-1}

= 11 * \sum_{p=0}^{k} 100^{p-1}よりS_{2k}は11の倍数となるので、S_nは11の倍数となる(答)