黄昏より暗きもの、血の流れより赤きもの

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インドのヴェーダ数学が面白い:「27×23」など1桁目の自然数の和が10である場合の2桁のかけ算

数学というものは各国独自の方法で発展してきた。例えば日本では鶴亀算などの和算が存在するように、インドではヴェーダ数学という算法が発展してきた。ヴェーダ数学の算法(アルゴリズム)は、因数分解などを応用したものも多く、非常に興味深い。

今日は「27×23」と言った、1桁目の自然数の和が10の場合の2桁の掛け算を見ていく。

問題

x,y,z1 \leq x,y,z \leq 9を満たす自然数とする.
2つの2桁の整数のA=10x+y , B=10x+zがあり,
A,Bの1桁目の自然数y,z和がy+z=10のとき,
AB=(10x+y)(10x+z)は以下の方法で計算できることが知られている.

[1] 二桁目の自然数xとxに1を足したものを掛け合わせ,それを100倍する
[2] 一桁目の自然数yとzどうしを掛け合わせる
[3] [1]の値と[2]の値を足し合わせる

以下上記の[1]~[3]の算法について考える.

(1):y+z=10のとき,
恒等式(10x+y)(10x+z)=100x(x+1)+yzが成立することを示せ.
(2):できる限り(1)を踏まえて以下の計算をせよ.

(i):73×77
(ii):72×79

解答

(1)の証明

上記の方法で計算のできる理由に当たる。
(10x+y)(10x+z) =  100x^2 + 10xz + 10xy + yz
 = 10x(10x + z + y) + yz
 = 10x(10x + 10) + yz (∵ y+z=10)
=  100x(x + 1) + yz q.e.d

A,Bの一桁目の自然数の和が10のとき,式を展開する段階で10が登場し,これをくくりだすと100x(x + 1)が登場する.x(x+1)に注目すると,(二桁目の自然数)×(二桁目の自然数+1)が出てくるため2桁目に1を足して掛け算してよいこととなる.

(2)(i):73×77をヴェーダ数学を使って計算

[1] 10の位の計算:7 × (7 + 1) = 56 これを100倍して5,600
[2] 1の位の計算:3 × 7 = 21
[3] 72 × 78 = 5,600 + 21 = 5,621(答)

(2)(ii):72×79をヴェーダ数学を使って計算

分配法則より72 × 79 = 72 × (78 + 1) = 72 × 78 + 72
まず72×78を計算する.

[1] 10の位の計算:7 × (7 + 1) = 56 これを100倍して5,600
[2] 1の位の計算 :2 × 8 = 16
[3] 72*78 = 5,600 + 16 = 5,616

[3]の値に72を足して,5,616 + 72 = 5,688(答)

参考